Hướng dẫn cách tính đạo hàm của hàm hợp

Thảo luận trong 'Khoa Học Cơ Bản'

  1. yen sao

    yen sao Super Moderator Staff Member

    1. Định nghĩa:
    Giả sử phương trình [​IMG] (1) xác định với u, v là hàm số của các biến độc lập x và y:

    [​IMG] (2) thì khi đó z được gọi là hàm số hợp của các biến số x và y thông qua 2 biến trung gian u và v.
    Như vậy z cũng có thể biểu diễn như hàm 2 biến x, y: [​IMG] (3)

    Ví dụ: Cho [​IMG]
    Khi đó: [​IMG]

    Tình huống:
    Nếu ta cần khảo sát đạo hàm của hàm số hợp thì có thể viết hàm số dưới dạng tường minh theo 2 biến x, y. Tuy nhiên, với hàm trên thì việc lấy đạo hàm riêng sẽ rất khó khăn. Hoặc nếu hàm số chưa xác định được công thức, ví dụ: [​IMG] hoặc [​IMG] thì làm sao tính được các đạo hàm riêng

    2. Định lý: (Tính [​IMG] từ (1), (2) mà không dùng (3)

    Cho z = f(u,v) và u, v là các hàm của hai biến u = u(x,y) và v = v(x,y). Cho các hàm z, u, v khả vi tại

    các điểm tương ứng. Khi đó, z = f(u,v) có các đạo hàm riêng [​IMG] xác định bởi công thức:

    [​IMG] ; [​IMG]


    3. Quy tắc Xích để xác định công thức tính đạo hàm cho hàm hợp:
    [​IMG]

    - Dòng 1: Viết hàm cần tính đạo hàm z
    - Dòng 2: Xác định các biến trung gian có trong hàm z. Ví dụ: (u,v)
    - Dòng 3: xác định biến cần lấy đạo hàm.
    Ví dụ x
    - Nối z với các biến trung gian u, v bằng những đoạn kẻ. Mỗi đoạn kẻ tương ứng với phép lấy đạo hàm.
    - Nếu u, v là những biến phụ thuộc x thì nối u với x bằng 1 đường kẻ; nối v với x bằng 1 đường kẻ. Các đường kẻ trên chính là các phép toán lấy đạo hàm riêng.
    - Tổng hợp tất cả các cách nối được từ z đến x ta sẽ có công thức tính đạo hàm của z theo x.


    4. Một số trường hợp tổng quát:
    [​IMG]

    1. Với z = f(u,v, w) , trong đó u = u(t), v = v(t), w = w(t)
    Khi đó: z là hàm số hợp của 1 biến số t thông qua 3 biến trug gian u, v, w.
    Bấy giờ, đạo hàm của z theo t được xác định[​IMG](do z, u, v, w đều là hàm theo 1 biến t nên đạo hàm là đạo hàm thường)


    Áp dụng:
    tính [​IMG], nếu [​IMG] , với [​IMG]


    Tương tự quy tắc trên, ta có: [​IMG]


    Nghĩa là: [​IMG]


    Hay: [​IMG]


    Ví dụ 1
    : Tính [​IMG] nếu [​IMG] với y = f(x).


    Trong ví dụ này, ta cần chú ý và phân biệt ý nghĩa của hai ký hiệu [​IMG]
    Đầu tiên, ký hiệu [​IMG] chỉ z là hàm

    theo 1 biến x, trong khi đó, biểu thức xác định của z là: [​IMG]nên với ký hiệu này ta sẽ hiểu là
    z là hàm số hợp của 1 biến x thông qua biến trung gian y.
    Còn ký hiệu, [​IMG] chỉ đạo hàm riêng của z theo

    biến x, điều này được hiểu là z là hàm hai theo 2 biến độc lập x, y.
    Như vậy: [​IMG]


    Còn: [​IMG]




    Ví dụ 2:
    Tìm [​IMG] biết [​IMG]

    Bạn có thể lập sơ đồ xích cho 3 biến r, s, t để xác định công thức tính đạo hàm như sau:
    [​IMG]

    Dựa vào sơ đồ trên, ta có:
    [​IMG] , [​IMG][​IMG]Việc còn lại bạn làm tiếp tục nhé.


    Ví dụ 3:
    Tìm [​IMG]

    Ta đặt: [​IMG] thì f là hàm số hợp của 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.
    Khi đó: [​IMG][​IMG]



    4. Đạo hàm cấp 2 của hàm số hợp 2 biến:


    Giả sử z là hàm số hợp theo 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v. Khi đó ta đã có công thức tính đạo hàm riêng cấp 1 của z đối với 2 biến x, y. Vấn đề đặt ra là: vậy nếu cần tính tiếp tục đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số hợp thì ta phải làm thế nào?


    Ta chú ý, trong công thức: [​IMG]
    Các đại lượng [​IMG] lại là các biểu thức theo u, v nên nó lại là những hàm số hợp của hai biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.


    Do đó: [​IMG]
    [​IMG] (*)


    Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp cho 2 hàm [​IMG] .

    Ta có:
    [​IMG] ,
    [​IMG] (**)


    Từ (*), (**) ta có:
    [​IMG]

    Hoàn toàn tương tự, ta tìm được công thức xác định [​IMG] (bạn thử tìm xem nhé)




    Ví dụ áp dụng:
    Tìm [​IMG] nếu [​IMG]

    Đáp số:
    [​IMG][​IMG] [​IMG]


    Tình huống:
    Cho y là hàm theo biến số x xác định từ phương trình: [​IMG] .Bạn thử tìm đạo hàm: [​IMG] .Nếu giải tìm được y theo x thì bài toán quá dễ dàng. Còn nếu không giải tìm được hàm y theo biến x thì thế nào đây?

Chia sẻ trang này